Jeden z najsłynniejszych problemów matematyki rozwiązany przez Claude AI

Anthropic poinformował 10 sierpnia 2026 r. o rezultacie uzyskanym przez niewydaną jeszcze badawczą wersję modelu Claude. Punktem wyjścia było zadanie wyjątkowo ambitne: próba zmierzenia się z hipotezą Riemanna, czyli jednym z siedmiu Problemów Milenijnych. Model nie znalazł jej dowodu, ale podczas pracy natrafił na możliwość poprawienia długoletniego wyniku dotyczącego odsetka zer funkcji dzeta, o których można bezwarunkowo wykazać, że znajdują się na linii krytycznej.

Według Anthropic Claude podniósł tę dolną granicę z około 41,6 proc. do 67,2 proc. To rezultat znacznie wykraczający poza wcześniejsze bezwarunkowe oszacowania i właśnie dlatego wzbudził zainteresowanie matematyków zajmujących się analityczną teorią liczb.

Trzeba jednak bardzo wyraźnie zaznaczyć, czego ta liczba nie oznacza. Claude nie wykonał 67,2 proc. dowodu hipotezy Riemanna ani nie znajduje się „w dwóch trzecich drogi” do jej rozwiązania. Wynik mówi o minimalnej proporcji zer funkcji dzeta, których położenie na linii krytycznej można zagwarantować za pomocą zastosowanej metody. Pozostałych zer nowe rozumowanie nie klasyfikuje jako leżących poza linią krytyczną. Po prostu nie obejmuje ich uzyskana gwarancja.

Hipoteza Riemanna pozostaje jednym z Problemów Milenijnych

Bernhard Riemann sformułował swoją hipotezę w 1859 r. Dotyczy ona funkcji dzeta Riemanna i jej tak zwanych nietrywialnych zer. W uproszczeniu hipoteza stwierdza, że wszystkie takie zera mają część rzeczywistą równą 1/2, a więc znajdują się na określonej pionowej prostej na płaszczyźnie zespolonej, nazywanej linią krytyczną.

Znaczenie problemu wykracza daleko poza samo badanie jednej funkcji matematycznej. Funkcja dzeta jest ściśle powiązana z rozmieszczeniem liczb pierwszych. Clay Mathematics Institute wskazuje, że hipoteza Riemanna pozwoliłaby znacznie dokładniej opisywać odchylenia od przeciętnego rozkładu liczb pierwszych. Instytut zaliczył ją do siedmiu Problemów Milenijnych, za rozwiązanie każdego z których przewidziano nagrodę w wysokości 1 mln dolarów.

W ciągu ponad półtora wieku matematycy uzyskali wiele częściowych rezultatów. Wiadomo między innymi, że ogromna liczba początkowych zer została numerycznie sprawdzona i znajduje się dokładnie tam, gdzie przewiduje hipoteza. Obliczenia nie zastępują jednak ogólnego dowodu odnoszącego się do nieskończonego zbioru.

Istotny jest również rozwój bezwarunkowych wyników matematycznych. W 2010 r. Hung Bui, Brian Conrey i Matthew Young wykazali, że ponad 41 proc. zer znajduje się na linii krytycznej. Późniejsze prace pozwoliły podnieść dolną granicę nieco powyżej pięciu dwunastych, czyli około 41,67 proc. To właśnie do tego poziomu odnosi się przedstawiane przez Anthropic porównanie z wynikiem Claude.

Około 650 nieudanych pomysłów przed znalezieniem właściwej drogi

Na uwagę zasługuje nie tylko sam rezultat, ale również sposób, w jaki model miał do niego dojść. Według informacji Anthropic Claude przeanalizował około 650 potencjalnych metod poprawienia istniejących ograniczeń. Większość okazała się nieskuteczna.

Prace trwały około 36 godzin i obejmowały działanie około 60 subagentów. Systemy wykonywały obliczenia, tworzyły programy pomocnicze, analizowały literaturę matematyczną, sprawdzały kolejne warianty argumentacji oraz kontrolowały wyniki uzyskane przez inne instancje modelu.

Anthropic podaje, że po znalezieniu obiecującej konstrukcji Claude podjął również próby jej podważenia. Model szukał możliwych błędów i próbował odtworzyć kluczowe elementy rozumowania innymi drogami. Ten etap jest szczególnie istotny w matematyce, ponieważ atrakcyjny wynik bez poprawnego dowodu nie ma wartości jako nowe twierdzenie.

Nie oznacza to jednak, że Claude stworzył całą wykorzystaną teorię od podstaw. Kluczową rolę odegrało połączenie wcześniej opublikowanych wyników matematyków. Anthropic wskazuje między innymi na prace Siegfreda Alana C. Baluyota, Daniela Alana Goldstona, Ade Irmy Suriajayi i Caroline L. Turnage-Butterbaugh oraz wcześniejsze badania Enrica Bombieriego dotyczące formy kwadratowej Weila.

Claude połączył wcześniejsze prace matematyków

To właśnie sposób wykorzystania istniejących narzędzi może być jednym z najważniejszych elementów całego eksperymentu. Model nie musiał wynaleźć zupełnie nowej dziedziny matematyki. Znalazł natomiast połączenie pomiędzy rezultatami, które wcześniej funkcjonowały w literaturze, i wykorzystał je do uzyskania silniejszego bezwarunkowego oszacowania.

W badaniach matematycznych nie jest to rezultat drugiej kategorii. Znaczna część rozwoju matematyki polega właśnie na dostrzeżeniu, że narzędzie stworzone dla jednego problemu można zastosować w innym kontekście lub połączyć z rezultatem pochodzącym z innej linii badań.

W tym przypadku Claude wykorzystał wyniki dotyczące korelacji par zer funkcji dzeta oraz idee związane z formą kwadratową Weila. Rezultatem miało być wykazanie, że co najmniej 67,2 proc. nietrywialnych zer funkcji dzeta znajduje się na linii krytycznej.

Sami przedstawiciele Anthropic zachowują przy tym ostrożność. Firma wprost zaznacza, że nie oczekuje, aby zastosowane przez Claude techniki prowadziły bezpośrednio do dowodu hipotezy Riemanna. Nowy rezultat należy więc traktować jako postęp w problemie powiązanym z hipotezą, a nie jako zapowiedź jej rychłego rozwiązania.

Wynik Claude przeszedł dodatkową weryfikację matematyczną

W tak zaawansowanej dziedzinie szczególne znaczenie ma niezależne sprawdzenie dowodu. Anthropic informuje, że pracę Claude analizowali matematycy związani z firmą, Ralph Furman i Levent Alpöge. Firma zwróciła się również do ekspertów zajmujących się teorią funkcji dzeta – Briana Conreya i Daniela Goldstona – którzy zapoznali się z pracą w krótkim czasie po jej powstaniu.

Powstała także wersja dowodu przeznaczona do formalnej weryfikacji w systemie Lean. Według Anthropic formalizacja przygotowana przy współpracy z Erikiem Easleyem przeszła standardową kontrolę wykorzystywaną do sprawdzania takich zapisów.

Nie kończy to jednak procesu naukowej oceny. Rezultat ogłoszono dopiero 10 sierpnia, dlatego szersza społeczność matematyków dopiero będzie miała możliwość szczegółowego przeanalizowania argumentacji, założeń i konsekwencji nowej metody. W przypadku twierdzeń z obszaru analitycznej teorii liczb pełna weryfikacja przez środowisko badawcze może być równie ważna jak początkowa kontrola przeprowadzona przez autorów i zaproszonych ekspertów.

Sztuczna inteligencja w matematyce przechodzi do otwartych problemów

Eksperyment Anthropic pokazuje również zmianę sposobu oceniania najbardziej zaawansowanych modeli AI. Jeszcze niedawno ich zdolności matematyczne sprawdzano przede wszystkim na zadaniach, których rozwiązania były już znane ludziom. Model otrzymywał problem olimpijski, równanie albo zadanie dowodowe, a następnie porównywano jego odpowiedź z istniejącym rozwiązaniem.

W przypadku Claude sytuacja była inna. System pracował nad rzeczywistym problemem badawczym, dla którego nie istniała gotowa odpowiedź umożliwiająca proste sprawdzenie rezultatu. Wymagało to przeglądania literatury, zestawiania wcześniejszych twierdzeń, prowadzenia eksperymentów obliczeniowych i odrzucania kolejnych nieskutecznych koncepcji.

Właśnie możliwość równoległego testowania ogromnej liczby wariantów może okazać się jednym z najważniejszych zastosowań systemów agentowych w nauce. Człowiek może analizować kolejne hipotezy miesiącami lub latami. System złożony z kilkudziesięciu współpracujących agentów może jednocześnie badać wiele ścieżek, natychmiast porzucać te nieskuteczne i przeznaczać zasoby na bardziej obiecujące rozwiązania.

Rezultat dotyczący funkcji dzeta nie dowodzi, że sztuczna inteligencja jest już zdolna samodzielnie rozwiązywać najważniejsze problemy matematyki. Pokazuje natomiast, że najbardziej rozwinięte modele zaczynają działać w obszarze, w którym efektem ich pracy może być nie tylko odtworzenie wiedzy człowieka, lecz również uzyskanie potencjalnie nowych wyników badawczych.

Źródła:

• Anthropic, „Learning more about Claude's mathematical capabilities”, 10 sierpnia 2026 r.
• Clay Mathematics Institute, materiały dotyczące hipotezy Riemanna i Problemów Milenijnych.
• Siegfred Alan C. Baluyot, Daniel Alan Goldston, Ade Irma Suriajaya, Caroline L. Turnage-Butterbaugh, prace dotyczące korelacji par zer funkcji dzeta.
• Daniel A. Goldston, Ade Irma Suriajaya, „Zeta Zeros in a Narrow Vertical Box”, 2026 r.
• Hung Bui, Brian Conrey, Matthew P. Young, „More than 41% of the zeros of the zeta function are on the critical line”.
• Kyle Pratt, Nicolas Robles, Alexandru Zaharescu, Dirk Zeindler, praca dotycząca dolnej granicy pięciu dwunastych zer funkcji dzeta.
• Onet, materiał dotyczący wyniku Claude i hipotezy Riemanna, 11 sierpnia 2026 r.